Вероятнее всего, это выражение возникло в связи с тем, что курицы не имеют физической возможности летать, как большинство птиц (подниматься высоко в небо, совершать длительные перелеты, парить и тому подобное). Логика народа проста: раз не летает - значит не птица. Будь в России распространены пингвины, про них говорили бы то же самое.

Куриные обладают средними размерами, у них плотное телосложение и мощные крепкие задние конечности. Крылья у них имеются, но они короткие и широкие, что позволяет птицам взлетать без разбега и лететь быстро, но недалеко, однако они не позволяют им осуществлять длительные перелеты. В том числе и по этой причине, представители отряда курообразных (куриных), кроме перепела, не совершают сезонных миграций.

Домашние куры (курицы), фото фотография

Чаще всего после фразы «курица - не птица» следует продолжение, которое меняется в зависимости от обстоятельств. Наиболее часто встречаются вариации:
Курица - не птица, баба (иногда женщина) - не человек. Как давно возникло это выражение неизвестно, встречается оно даже в словаре Даля.
Курица - не птица, прапорщик - не офицер. Эта фраза приписывается Петру Первому.
Курица - не птица, Польша - не заграница. Название страны, кстати, может быть практически любым. Чаще всего это Польша и Болгария, а некогда и Персия («Курица - не птица, а Персия - не заграница!» (В. Робсман. Царство Тьмы: рассказы и очерки бывшего корреспондента «Известий» . - 1956, с. 119.)).

Из современных вариаций наиболее распространены «Курица - не птица, стоматолог - не врач» и «Курица - не птица, логарифм - не бесконечность».