Котёнок в порядке - кушает, да спит себе возле тёплой бутылки. Единственное, днём кормим каждые 3 часа, а ночью совсем кушать не просит, спит. Это нормально? Или нужно его будить? И ещё, не успели вовремя прикупить смеси, и 1 раз я покормила его разведённым с водой коровьим молоком. Не вредно ли это котёнку? И последний вопрос, когда ему нужно будет делать прививки?

Не просит - не надо. Будить не нужно. Значит, он за день успевает съесть достаточно - радуйтесь.
Один раз дать разведенное молоко - ничего страшного. В принципе можно и самим смесь готовить - только муторно очень, она не храниться. Стакан молока пополам с водой, одно яйцо, четверть чайной ложки сахара, 2-3-капли Тривита или Тетравита или рыбьего жира, все тщательно перемешать, процедить, подогреть.... Остатки выкинуть и через 3 часа начинать сначала....
Прививки котятам делают в 2 месяца. За 7-10 дней до этого надо дать глистогонное средство. Некоторые вакцины делают двукратно, некоторые трехкратно. Схему вакцинации вам расскажет ветеринар, который будет ее проводить.