Кошке около 2-х месяцев. Все вроде бы нормально, но меня беспокоит слишком уж "игривое" её поведение, постоянно кидается, царапается и кусается на хозяев, спать ночью можно только при закрытой двери, лазит там, где нельзя. Пройдет ли это с возрастом?

Это игры такие, не думаю, что в таком юном возрасте у вашей кошки настоящая агрессия.
Игры у кошек довольно жесткие, максималистские. Игра - тренировка перед взрослой жизнью. Тот котенок, который играл мало, плохо, не в полную силу в дальнейшем не сможет полноценно питаться, защищаться от врагов и посягательств других кошек на
свою территорию, не завоюет самку... И, в конце концов, погибнет. Если бы у вас был еще один котенок - они бы боролись между собой, а так - только вы и остаетесь. Кроме тренировки в процессе игры котята выясняют кто из них сильнее и ловчее и это позволяет избежать взрослых кровавых разборок, во всяком случае свести их к минимуму.
Разрешать кусать вас, охотиться за вашими руками и ногами не в коем случае нельзя! Кошка очень быстро вырастет, а взрослый зверь изо всех сил вцепляющийся в вас может быть довольно опасен, нанести серьезные повреждения. В качестве меры пресечения можно использовать небольшую брызгалку (струя воды в мордочку - очень неприятно, но абсолютно безопасно для кошки), погремушку (например, жестяную банку из под напитков с монетками или камешками внутри, газету). Как только кошка на вас кинется - надо сильно и резко зашипеть, брызнуть (кинуть, хлопнуть) и оттолкнуть ее от себя, лучше - выставить из помещения.
Если вы будете терпеливы и настойчивы (не один случай не должен остаться безнаказанным и неприятности для кошки должны начинаться в тот момент, когда она начала не устраивающие вас действия и заканчиваться, как только она их прекратила) у вас все нормализуется. Само, с возрастом это не уйдет - ну разве что когда ваша кошка будет уже ОЧЕНЬ старая и дряхлая, лет через 15...